Volume daerah yang dibatasi oleh kurva y=x2+1y=x2+1 dan y=x+3y=x+3 jika diputar mengelilingi sumbu-XX sejauh 360?360? adalah ?? satuan volume.
A. 1175π1175π                        D. 75π75π
B. 1075π1075π                        E. 45π45π
C. 1055π

Titik potong dari kurva y=x2+1y=x2+1 dan y=x+3y=x+3 dapat dicari dengan menyamakan fungsinya.
y=yx2+1=x+3x2−x−2=0(x−2)(x+1)=0y=yx2+1=x+3x2−x−2=0(x−2)(x+1)=0
Diperoleh x=2x=2 atau x=−1x=−1.
Sketsakan grafik dari y=x2+1y=x2+1 (parabola) dan y=x+3y=x+3 (garis lurus) beserta arsiran daerah yang dimaksud.
Daerah yang diarsir berada pada selang [−1,2][−1,2] yang akan menjadi batas integrasi.
Perhatikan bahwa kurva y=x+3y=x+3 selalu berada di atas kurva y=x2+1y=x2+1.
Volume daerah itu bila diputar mengeliling sumbu-XX satu lingkaran penuh kita nyatakan sebagai VV.
V=π∫2−1(y2atas−y2bawah) dx=π∫2−1((x+3)2−(x2+1)2) dx=π∫2−1((x2+6x+9)−(x4+2x2+1)) dx=π∫2−1(−x4−x2+6x+8) dx=π[−15x5−13x3+3x2+8x]2−1=π[−15(25+(−1)5)−13(23−(−1)3)+3(22+(−1)2)+8(2−(−1))]=π[−335−3+9+24]=π[−335+30]=1175πV=π∫−12(yatas2−ybawah2) dx=π∫−12((x+3)2−(x2+1)2) dx=π∫−12((x2+6x+9)−(x4+2x2+1)) dx=π∫−12(−x4−x2+6x+8) dx=π[−15x5−13x3+3x2+8x]−12=π[−15(25+(−1)5)−13(23−(−1)3)+3(22+(−1)2)+8(2−(−1))]=π[−335−3+9+24]=π[−335+30]=1175πJadi, volumenya adalah 1175π1175π satuan volume.
(Jawaban A)

Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi kurva y=4x−x2y=4x−x2 dan y=−2x+8y=−2x+8 diputar 360?360? mengelilingi sumbu-YY adalah ?⋅?⋅
A. 32π32π                 C. 16π16π               E. 4π4π    
B. 24π24π                D. 8π8π      

Pertama, buat sketsa kurvanya terlebih dahulu.
Analisis: y=4x−x2y=4x−x2
Karena koefisien x2x2 negatif, maka kurva y=4x−x2y=4x−x2 berbentuk parabola yang terbuka ke bawah.
Cek titik potong terhadap sumbu-X.X.
0=4x−x20=x(4−x)0=4x−x20=x(4−x)Kurva memotong sumbu-XX di (0,0)(0,0) dan (4,0).(4,0).
Absis titik puncak di xp=−b2a=−42(−1)=2.xp=−b2a=−42(−1)=2. Substitusi, sehingga dihasilkan yp=4.yp=4. Jadi, koordinat titik puncak parabola di (2,4).(2,4).
Analisis: y=−2x+8y=−2x+8
Kurva berupa garis lurus yang melalui titik (0,8)(0,8) dan (4,0)(4,0).
Sketsa kedua kurva sebagai berikut.
Daerah yang diarsir merupakan daerah yang dibatasi oleh kedua kurva dan akan diputar mengelilingi sumbu-YY sejauh 360?.360?. Tampak kurva kanan = parabola dan kurva kiri = garis.
Batas integrasi adalah dari 00 sampai 4.4., ditulis ∫40.∫04.
Berikutnya, akan dicari bentuk x2.x2.
Kurva y=4x−x2y=4x−x2:
y=4x−x2y−4=4x−x2−44−y=x2−4x+44−y=(x−2)2√4−y=x−2√4−y+2=x(4−y)+4(4−y)+4=x28−y+4(4−y)=x2y=4x−x2y−4=4x−x2−44−y=x2−4x+44−y=(x−2)24−y=x−24−y+2=x(4−y)+4(4−y)+4=x28−y+4(4−y)=x2Kurva y=−2x+8y=−2x+8:
y=−2x+8y−8=−2x8−y2=x64−16y+y24=x2y=−2x+8y−8=−2x8−y2=x64−16y+y24=x2Dengan demikian, volume benda putar daerah tersebut, yakni sebagai berikut.
V=π∫40(ykanan−ykiri) dy=π∫40((8−y+4(4−y))−(64−16y+y24)) dy=14π∫40((32−4y+16√4−y)−(64−16y+y2))=14π∫40(−32+12y−y2+16√4−y) dy=14π[−32y+6y2−13y3+16⋅(−23)(4−y)3/2]40=14π[−128+96−643+2563]=14π(−32+64)=8πV=π∫04(ykanan−ykiri) dy=π∫04((8−y+4(4−y))−(64−16y+y24)) dy=14π∫04((32−4y+164−y)−(64−16y+y2))=14π∫04(−32+12y−y2+164−y) dy=14π[−32y+6y2−13y3+16⋅(−23)(4−y)3/2]04=14π[−128+96−643+2563]=14π(−32+64)=8πJadi, volume benda putar yang terjadi adalah 8π8π
(Jawaban D)