Selamat Datang di SMK Taruna Bangsa

PENULIS Wibowo Adi Nugroho
KATEGORI Matematika
TANGGAL & WAKTU 2021-11-19 00:11:15

Definisi

Turunan fungsi memiliki definisi yaitu pengukuruan dimana hasil dari fungsi akan berubah sesuai dengan variabel yang kita masukan, atau secara umum suatu besaran yang berubah seiring perubahan besaran lainnya. Proses dalam menemukan turunan disebut sebagai diferensiasi.

Turunan pertama fungsi y terhadap x didefinisikan sebagai:

$y' = f '(x) = \frac {dy}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) ? f(x)}{h}$

$f '(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) ? f(a)}{h}$

Sifat-sifat

$y =c \rightarrow y' = 0$

$y =c.V \rightarrow y' = c.V'$

$y =U \pm V \rightarrow y' =U' \mp V'$

$y =U.V \rightarrow y' = U'.V+U.V'$

$y =\frac{U}{V} \rightarrow y' = \frac{U'.V+U.V'}{V^2}$

$y = U^n \rightarrow y'=n.U^{n{?1}}.U'$

Rumus

Setelah membahas mengenai Definisinya. Sekarang akan kita terangkan mengenai rumus-rumus turunan fungsi yang meliputi fungsi pangkat f(x)=x^n , hasil kali fungsi f(x) = u(x) . v(x) , hasil pembagian fungsi $f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$ , dan pangkat dari fungsi f(x) = (u(x))^n .

Turunan fungsi pangkat

Turunan fungsi pangkat ( f(x)=x^n ) dapat menggunakan rumus berikut ini.

$f '(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) ? f(x)}{h}$

berikut ini penjelasannya

$f '(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h)^n ? f(a)^n}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{\sum_{i=1}^{n}{C_i^n x^{n-i}h^i-x^n}}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{C_0^n x^n+C_1^n x^{n-1}h+C_2^n x^{n-2}h^2+......+C_n^n h^n-x^{n}}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{x^n+nx^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}h^2+......+h^n-x^n}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{nx^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}h^2+......+h^n}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{nx^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}h+......+h^{n-1}}{h}$

$= nx^{n-1}+0+0+0+......+0=nx^{n-1}$

Jadi, rumus dari turunan fungsi pangkat adalah

$f'(x) = nx^{n-1}$

Turunan hasil kali fungsi

Rumus untuk turunan hasil kali fungsi ( $f(x)+=+u(x)+\cdot+v(x)$ ) dapat adalah berikut ini.

$f '(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) ? f(x)}{h}$

$\lim_{h \to 0} = \frac{u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)}{h}$

$\lim_{h \to 0} = \frac{u(x+h)v(x+h)-u(x+x)v(x)+u(x+x)v(x)-u(x)v(x)}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{[u(x+h)v(x+h)-u(x+x)v(x)]+[u(x+h)v(x)-u(x)v(x)]}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{[u(x+h)v(x+h)-v(x)]}{h}+\frac{[u(x+x)v(x)-u(x)v(x)]}{h}$

$= \lim_{h \to 0} u(x+h). \lim_{h \to 0} \frac{v(x+h)-v(x)}{h}+\frac{u(x+h)v(x)-u(x)v(x)}{h}.\lim_{h \to 0}v(x)$

$= u(x+0).v'(x)+u'(x).v(x)$

$u'(x).v(x)+u(x).v'(x) \rightarrow{atau} u'.v+u.v'$

Jadi, kita dapatkan rumus turunan hasil kali fungsi adalah

$f'(x) = u'v+uv'$

Turunan fungsi pembagian

Fungsi f(x) yang terbentuk dari pembagian fungsi u(x) dan v(x) atau $f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$ , turunannya didapat dengan:

$f '(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) ? f(x)}{h}$

$f '(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) ? f(x)}{h} \rightarrow{menjadi} \lim_{h \to 0} \frac{\frac{x+h}{x+h}-\frac{v(x)}{v(x)}}{h}$

Sehingga menjadi

$f'(x) = \lim_{g \to 0} \frac{u(x+h)v(x)-u(x)v(x+th)}{h.v(x+h)v(x)}$

$=\lim_{h\to0}\frac{u(x+h)v(x)-u(x)v(x)-u(x)v(x+h)+u(x)v(x)}{h.v(x+h)v(x)}$

$=\lim_{h\to0}\frac{[u(x+h)-u(x)]v(x)-u(x)[v(x+h)-v(x)]}{h.v(x+h)v(x)}$

$=\lim_{h\to0}\frac{[u(x+h)-u(x)]v(x)}{h \cdot v(x+h)v(x)}-\lim_{h\to0}\frac{u(x)[v(x+h)-v(x)]}{h \cdot v(x+h)v(x)}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{u(x+h)-u(x)}{h}.\lim_{h \to 0}\frac{v(x)}{v(x+h)v(x)}-+\lim_{h \to 0}\frac{u(x)}{v(x+h)v(x)}.\lim_{h \to 0}\frac{v(x+h)-v(x)}{h}$